Nature fractale du relief

Historique du mouvement brownien.

 

Le mouvement brownien a été découvert au début du 20ème siècle

par Robert Brown, un biologiste qui observe sous son microscope

le déplacement d’un grain de pollen minuscule qui flotte sur l’eau.

Il constate que ce grain de pollen décrit un mouvement très

irrégulier et inexplicable. En 1905 Albert Einstein reprend l’étude

du « mouvement brownien » de ce grain de pollen et démontre

qu’il est le résultat des chocs aléatoires des molécules d’eau

contre le grain de pollen. Pour la première fois dans l’histoire de la

science, Einstein mit en évidence l’existence physique des

atomes. Andrei Nicolaievitch Kolmogorov et Paul Lévy améliorent

l’approche du mouvement brownien du point de vue du calcul des

probabilités, ils définissent  mathématiquement le mouvement

brownien standard et étudie sa distribution gaussienne. A cette

même époque, Bachelier, mathématicien français, propose

d’utiliser le mouvement brownien pour faire des prédictions

mathématiques sur la bourse du marché financier.

Il propose des formules mathématiques pour calculer les

probabilités des fluctuations du marché, donc de la variation du

cours de l’argent.

                

              Variation du prix du baril de pétrole par jour:

        Change du jour ( 3.10.2006) : avec 1 USD (US Dollar ) j’achète 1,29 Frs.

 

 

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Cette théorie du « mouvement brownien standard » a été utilisée

par les banques durant tout le 20ème siècle, mais aujourd’hui elle est

remise en question pour sa trop grande simplicité, ainsi que pour

son incapacité à prévenir l’arrivée d’un krach économique,

c’est-à-dire l’effondrement du système économique, événement

rare mais inévitable du marché financier.

 

                                                                 

Tre Cime di Lavaredo:

érosion…éboulements et avalanches sculptent le profil des montagnes.

 

C’est Benoît Mandelbrot, mathématicien inventeur du concept fractal,

qui a reprit l’étude du mouvement brownien standard dès 1970, et en a

déterminé la dimension fractale dont la valeur vaut 2. Il a démontré par

la suite que le marché financier est de dimension fractionnaire

(comprise entre 1 et 2). Ce fait confère au marché un comportement

plus sauvage, plus complexe que le mouvement brownien standard qui

est de dimension entière. Il nomme ce nouveau modèle le mouvement

brownien multifractionnaire qui simule la réalité avec une étonnante

exactitude.

Ce modèle est utilisé actuellement en précurseur, par les banques

suisses de Zürich pour mesurer et minimiser les risques de leurs

investissements en bourse.

 

 

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Historique du mouvement brownien.

 Pour produire un mouvement brownien fractionnaire à partir du

jeu de « pile ou face », il faut modifier les règles du jeu.

Tu ne vas plus répéter aveuglément la même règle ( pile = (+1) ou

face = (-1) ).

Après avoir tiré au hasard « pile » ou « face » avec la pièce, tu vas

tirer au hasard, hors partie avec une autre pièce, la valeur

attribuée à « pile » ou « face » :    

pile =  (+2) ou (+1)                  et                     face = ( -1) ou ( -2)

           p(p)      p(f)                                                       f(p)        f(f)

Une loterie sur la loterie en quelque sorte qui produit une

interdépendance de deux probabilités. Cette nouvelle règle

transforme le mouvement brownien standard en un mouvement

brownien multifractionnaire avec une dimension fractale

fractionnaire et un profil  plus mouvementé mais plus réaliste.

                                              

Les Dolomites:

Le profil des Dolomites italiennes, fragmenté en échelle, fracturé et

irrégulier, évoque une randonnée aléatoire de type mouvement

brownien multifractionnaire.

 

 

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Mouvement brownien et relief

Le mouvement brownien dessine une courbe fragmentée et

irrégulière, constituée de pics et de creux qui suggèrent, à deux

dimensions, la coupe verticale d’un paysage alpin vu de profil.

                                                        

Vue des Alpes :

La silhouette des Alpes dessine le profil d’une courbe fractale

de type mouvement brownien, randonnée aléatoire irrégulière

mais autorégulée par un attracteur.

L’interface fractale, entre la terre et le ciel, correspond à l’état

actuel d’une évolution autorégulée qui tend vers une stabilité

adaptative du paysage alpin.

 

 

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Autosimilarité en échelle

Zoom fractal :

                                        

 

Aiguille de la Tza :

La structure fractale du relief est le résultat naturel de l’optimisation

de la résistance à l’érosion du sol rocheux provoquée par le climat.

La structure est fractale car son architecture présente, à trois

dimensions, l’autosimilarité en échelle d’une structure fragmentée.

La structure fractale du relief alpin est la meilleure solution naturelle

pour résister à l’érosion provoquée par le climat.

C’est ce qui lui confère sa structure irrégulière à toutes les échelles.

Il se trouve que la structure fractale de l’interface entre le ciel et la

terre est plus efficace pour lutter contre les assauts du climat qu’une

structure non-fractale du relief qui serait moins résistante à l’érosion

par la régularité de ces surfaces.

Entre une figure fractale géométrique tel le Napperon de Sierpinski

et une figure fractale naturelle comme l’image de « l’Aiguille de la

Tsa » , il réside une différence dans la multiplicité des échelles

présentes sur l’image fractale naturelle et l’échelle unique de la

figure fractale géométrique. Benoît Mandelbrot parle alors de

structure multifractale.

Les structures fractales sont en quelque sorte régulières et

« domestiquées » , alors que les structures multifractales restent

« sauvages » donc plus irrégulières et plus complexes.

 

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Modélisation du relief.

Le mouvement brownien est utilisé en informatique, pour simuler

des images de montagnes sur les ordinateurs, construites par une

succession de plans verticaux et parallèles qui contiennent chacun

une randonnée brownienne. Un relief  artificiel construit sur des

bases du mouvement brownien standard.

                

 

Afin d’améliorer la simulation du profil des montagnes, les

informaticiens profitent des découvertes de Mandelbrot et utilisent

le mouvement brownien multifractionnaire qui leurs permet

d’entrer dans le programme un paramètre exprimant la « dureté

de la roche ». L’ordinateur produit des profils étonnants de

réalisme, extrêmement proche des paysages montagneux

naturels.

                         

 

 


MATH : Hasard et pavage fractal 
MATH : Géométrie fractale 
MATH : Algèbre fractale 
MATH : Dynamique fractale 
ATS : Autorégulation fractale 
ATS : Chaos et ensembles fractals 
ATS : Fluctuations fractales 
ATS : Evolution fractale